Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 7 & 0 & 6 & 0 0 & 0 & 1 & 9 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 7 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 \end{array}]$

Étape 1

Write as an augmented matrix for

A x = 0

$A x = 0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 7 & 0 & 6 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 9 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 7 & 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 0 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multiply each element of

R_{3}

$R_{3}$ by

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ to make the entry at

3, 5

$3, 5$ a

1

$1$ .

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Étape 2.1.1

Multiply each element of

R_{3}

$R_{3}$ by

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ to make the entry at

3, 5

$3, 5$ a

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 7 & 0 & 6 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 9 & 0 & 0 \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{8}{8} & \frac{0}{8} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 7 & 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 0 & 0 \\ \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{8}{8} & \frac{0}{8} \end{array}]$

Étape 2.1.2

Simplifiez

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 7 & 0 & 6 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 9 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 7 & 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 7 & 0 & 6 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 9 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 7 & 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 7 & 0 & 6 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 9 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 7 & 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

x_{1} + 7 x_{2} + 6 x_{4} = 0

$x_{1} + 7 x_{2} + 6 x_{4} = 0$

x_{3} + 9 x_{4} = 0

$x_{3} + 9 x_{4} = 0$

x_{5} = 0

$x_{5} = 0$

Étape 4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 7 x_{2} - 6 x_{4} x_{2} - 9 x_{4} x_{4} 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{array}] = [\begin{array}{c} - 7 x_{2} - 6 x_{4} \\ x_{2} \\ - 9 x_{4} \\ x_{4} \\ 0 \end{array}]$

Étape 5

Write the solution as a linear combination of vectors.

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = x_{2} ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 7 1000 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ + x_{4} ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 6 0 - 9 10 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} - 7 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} - 6 \\ 0 \\ - 9 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Étape 6

Write as a solution set.

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x_{2} ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 7 1000 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ + x_{4} ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 6 0 - 9 10 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x_{2}, x_{4} \in R ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

${x_{2} [\begin{array}{c} - 7 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} - 6 \\ 0 \\ - 9 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | x_{2}, x_{4} \in R}$